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Klar, die rote und die blaue Fläche sind gleich groß. Aber beweise das mal!

Es ist Wochenende – und egal, ob es bei dir noch drückend heiß ist oder schon gewittert: Nimm dir Zeit für dieses kleine Rätsel hier! 

Wir haben da einen Viertelkreis vor uns, in den zwei kleinere Halbkreise eingeschrieben sind: 

Bild

bild: kobon fujimura

Deine Aufgabe: Beweise, dass die rote und die blaue Fläche gleich groß sind! 

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

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bild: giphy

Die Figur oben ist ein Viertelkreis. Fügt man alle vier Viertelkreise zusammen, ergibt sich dieser volle Kreis, der vier kleinere, sich überschneidende Kreise enthält: 

Bild

bild: kobon fujimura

Wir stellen nun fest: 

  1. Die Gesamtfläche der vier kleinen, sich überschneidenden Kreise (= die blauen und weißen Teile zusammen) ist gleich groß wie die Gesamtfläche von vier solchen Kreisen abzüglich deren Schnittfläche (= die blauen Teile).
  2. Die Fläche des großen Kreises abzüglich der roten Teile ist gleich groß wie die Gesamtfläche der weißen und blauen Teile. 

Mit diesen Angaben im Kopf stellen wir jetzt folgende Berechnungen an: 

Damit können wir die beiden zuvor erwähnten Feststellungen wie folgt umformulieren: 

  1. Die blauen und weißen Teile sind zusammen gleich groß wie π•r2 abzüglich der blauen Teile. 
  2. Die blauen und weissen Teile sind zusammen gleich groß wie π•r2 abzüglich der roten Teile. 

Beide Feststellungen sind wahr, daher müssen die blauen Teile gleich groß sein wie die roten. 

Das Rätsel stammt aus "The Tokyo Puzzles" von Kobon Fujimura. 

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(dhr)

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