Klar, die rote und die blaue Fläche sind gleich groß. Aber beweise das mal!

28.04.2019, 17:15

Die Arbeitswoche hat gerade erst begonnen. Das heißt: Du hast massig Zeit für dieses kleine Rätsel hier!

Bild: kobon fujimura

Deine Aufgabe: Beweise, dass die rote und die blaue Fläche gleich groß sind!

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

Willst du vielleicht nochmal überlegen?

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Die Figur oben ist ein Viertelkreis. Fügt man alle vier Viertelkreise zusammen, ergibt sich dieser volle Kreis, der vier kleinere, sich überschneidende Kreise enthält:

Bild: kobon fujimura

Wir stellen nun fest:

  • Die Gesamtfläche der vier kleinen, sich überschneidenden Kreise (= die blauen und weißen Teile zusammen) ist gleich groß wie die Gesamtfläche von vier solchen Kreisen abzüglich deren Schnittfläche (= die blauen Teile).
  • Die Fläche des großen Kreises abzüglich der roten Teile ist gleich groß wie die Gesamtfläche der weißen und blauen Teile.

Mit diesen Angaben im Kopf stellen wir jetzt folgende Berechnungen an:

  • Die Fläche des großen Kreises ist π•r2.
  • Der Radius von jedem der vier kleinen Kreise ist die Hälfte von r, also r/2.
  • Die Fläche eines solchen kleinen Kreises ist demnach: π•(r/2)2 = π•r2/22 = π•r2/4
  • Die Gesamtfläche der vier kleinen Kreise ist somit: 4•π•r2/4 = π•r2

Damit können wir die beiden zuvor erwähnten Feststellungen wie folgt umformulieren:

  • Die blauen und weißen Teile sind zusammen gleich groß wie π•r2 abzüglich der blauen Teile.
  • Die blauen und weißen Teile sind zusammen gleich groß wie π•r2 abzüglich der roten Teile.

Beide Feststellungen sind wahr, daher müssen die blauen Teile gleich groß sein wie die roten. Das Rätsel stammt aus "The Tokyo Puzzles" von Kobon Fujimura.

(dhr)

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Und nun: Hirn entspannen!

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